Question

（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果[AP/BP＝BPAB]，那么称点P为线段AB的黄

Answer 1

解题思路：（1）类比黄金三角形的定义进行定义；

（2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；

（4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条．

（1）满足[宽/长＝

长

宽+长]≈0.618的矩形是黄金矩形；

（2）由[BP/AB]=k得，BP=1×k=k，从而AP=1-k，

由[AP/BP＝

BP

AB]得，BP²=AP×AB，

即k²=（1-k）×1，

解得k=

−1±

5

2，

∵k＞0，

∴k=

5−1

2≈0.618；

（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以[AP/BP＝

BP

AB]，

设△ABC的AB上的高为h，则

S△APC

S△BPC＝

1

2AP×h

1

2BP×h＝

AP

BP，

S△BPC

S△ABC＝

1

2BP×h

1

2AB×h＝

BP

AB

∴

S△APC

S△BPC＝

S△BPC

S△ABC

∴直线CP是△ABC的黄金分割线．

（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．

点评：

本题考点： 黄金分割；三角形的面积．

考点点评： 注意线段的黄金分割点的概念的延伸，能够根据黄金分割的定义结合三角形的面积进行分析证明．