Question

（2008•浦东新区一模）关于x的方程k•4x-k•2x+1+6（k-5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围

Answer 1

解题思路：换元：令t=2^x，则t∈[1，2]，原方程化为k•t²-2k•t+6（k-5）=0，根据题意，问题转化为此方程在[1，2]上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论．

令t=2^x，则t∈[1，2]，

∴方程k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）=0，化为：k•t²-2k•t+6（k-5）=0，

根据题意，此关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，

整理，得：方程k（t²-2t+6）=30，当t∈[1，2]时存在实数解

∴k＝

30

t 2−2t+6，当t∈[1，2]时存在实数解

∵t²-2t+6=（t-1）²+5∈[5，6]

∴k＝

30

t 2−2t+6∈[

30

6，

30

5] ＝[5，6]

故答案为[5，6]

点评：

本题考点： 根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题以指数型二次方程为例，考查了根的存在性及函数零点的知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离思路的应用，它可以化繁为简、化难为易．