Question

如图，正方形ABCD的边长为6，E是边BC上的一点，△ABE经过旋转后得到△ADF．

Answer 1

解题思路：（1）根据旋转的性质，两对应边AB、AD的交点即为旋转中心，夹角为旋转角；

（2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ADF和△ABE全等，再根据全等三角形的面积相等可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，然后列式求解即可；

（3）①根据旋转角求出∠GAF=45°，从而得到∠GAE=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEG和△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得GE=GF，然后证明即可得证；

②设DG为x，表示出CG、GE、CE，然后在Rt△CGE中利用勾股定理列式进行计算即可得解．

（1）∵△ABE经过旋转后得到△ADF，

∴旋转中心为A，

∵四边形ABCD是正方形，

∴旋转角为∠BAD=90°；

（2）∵△ABE经过旋转后得到△ADF，

∴S_△ABE=S_△ADF，

∴S_{四边形AECF}=S_{四边形AECD}+S_△ADF=S_{四边形AECD}+S_△ABE=S_{正方形ABCD}，

∵正方形ABCD的边长为6，

∴四边形AECF的面积=6²=36；

（3）①∵△ABE经过旋转后得到△ADF，

∴AE=AF，BE=DF，

∵∠GAE=45°，

∴∠GAF=45°，

∴∠GAE=∠GAF，

在△AEG和△AFG中，

AE＝AF

∠GAE＝∠GAF

AG＝AG，

∴△AEG≌△AFG（SAS），

∴GE=GF，

∵GF=DF+DG=BE+DG，

∴GE=BE+DG；

②设DG=x，则CG=6-x，GE=x+2，CE=BC-BE=6-2=4，

在Rt△CGE中，GE²=CE²+CG²，

即（x+2）²=4²+（6-x）²，

解得x=3，

所以，DG=3．

点评：

本题考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评： 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握旋转前后的两个三角形全等是解题的关键．