Question

设函数f（x）=log2（ax-bx），且f（1）=1，f（2）=log212．

Answer 1

解题思路：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中，求得a、b的值即可；

（2）利用换元法，由（1）得

f(x)＝

log

(

4

x

−

2

x

)

2

，令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x，再令t=2^x，则y=t²-t，可知函数y=（t-[1/2]）²-[1/4]在[2，4]上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值．

∵函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12

∴

log(a−b)2＝1

log(a2−b2)2＝12

∴

a−b＝2

a2−b2＝12

∴

a＝4

b＝2

（2）由（1）得f(x)＝

log(4x−2x)2

令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x

令t=2^x，则y=t²-t

∵x∈[1，2]，

∴t∈[2，4]，

显然函数y=（t-[1/2]）²-[1/4]在[2，4]上是单调递增函数，

所以当t=4时，取得最大值12，

∴x=2时，f（x）最大值为log₂12=2+log₂3

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题以对数函数为载体，考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，考查函数的单调性与最值，属于基础题．