(2011•潍坊二模)已知函数f(x)=a(x-[1/x])-2lnx,g(x)=x2.

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  • 解题思路:(I)求函数的导数,若函数f(x)在其定义域上为增函数,则f'(x)≥0恒成立,然后求实数a的取值范围;

    (Ⅱ)利用导数的几何意义求函数f(x)与g(x)的共切线,然后证明等式.

    (I)函数f(x)的定义域为(0,+∞),函数的导数为f′(x)=a+

    a

    x2−

    2

    x=

    ax2−2x+a

    x2.

    要使函数f(x)在其定义域上为增函数,f'(x)≥0恒成立,即ax2-2x+a≥0,在(0,+∞)上恒成立.

    即a≥

    2x

    x2+1在(0,+∞)上恒成立.

    因为[2x

    x2+1=

    2

    x+

    1/x≤

    2

    2=1,当且仅当x=1时取等号,所以a≥1.

    (Ⅱ)因为函数的导数为f′(x)=a+

    a

    x2−

    2

    x]=

    ax2−2x+a

    x2,

    g'(x)=2x,令

    ax2−2x+a

    x2=2x,

    即2x3-ax2+2x-a=0,所以x2(2x-a)+2x-a=0,即(x2+1)(2x-a)=0,

    所以2x-a=0,x=[a/2].

    因为f(x)=a(x-[1/x])-2lnx,

    则f(

    a

    2)=a(

    a

    2−

    2

    a)−2ln

    a

    2=

    1

    2a2−2ln

    a

    2−2,

    对于g(x)=x2.则g(

    a

    2)=

    a2

    4.

    因为g(

    a

    2)=f(

    a

    2),所以[1/2a2−2ln

    a

    2−2=

    a2

    4],即a

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,综合性较强运算量较大,考查学生的运算能力.