解题思路:(I)求函数的导数,若函数f(x)在其定义域上为增函数,则f'(x)≥0恒成立,然后求实数a的取值范围;
(Ⅱ)利用导数的几何意义求函数f(x)与g(x)的共切线,然后证明等式.
(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞),函数的导数为f′(x)=a+
a
x2−
2
x=
ax2−2x+a
x2.
要使函数f(x)在其定义域上为增函数,f'(x)≥0恒成立,即ax2-2x+a≥0,在(0,+∞)上恒成立.
即a≥
2x
x2+1在(0,+∞)上恒成立.
因为[2x
x2+1=
2
x+
1/x≤
2
2=1,当且仅当x=1时取等号,所以a≥1.
(Ⅱ)因为函数的导数为f′(x)=a+
a
x2−
2
x]=
ax2−2x+a
x2,
g'(x)=2x,令
ax2−2x+a
x2=2x,
即2x3-ax2+2x-a=0,所以x2(2x-a)+2x-a=0,即(x2+1)(2x-a)=0,
所以2x-a=0,x=[a/2].
因为f(x)=a(x-[1/x])-2lnx,
则f(
a
2)=a(
a
2−
2
a)−2ln
a
2=
1
2a2−2ln
a
2−2,
对于g(x)=x2.则g(
a
2)=
a2
4.
因为g(
a
2)=f(
a
2),所以[1/2a2−2ln
a
2−2=
a2
4],即a
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,综合性较强运算量较大,考查学生的运算能力.