Question

已知数列{an}的前n项和Sn=2n2（n∈N*），等比数列{bn}满足：a1=b1，b2（a3-a2）=b1（an-a

Answer 1

解题思路：（1）根据S_n=2n²（n∈N^*），再写一式，两式相减，可得{a_n}的通项公式；利用数列{b_n}是等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3），即可求得{b_n}的通项公式；

（2）由（1）知c_n=

a

n

b

n

=

2n−1

2

n−1

，利用错位相减法，即可求数列{c_n}的前n项和T_n．

（1）∵S_n=2n²（n∈N^*），∴n=1时，a₁=S₁=2；

n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，a₁=2也满足上式

∴a_n=4n-2

∵数列{b_n}是等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₂）=b₁（a_n-a_n-2）（n≥3）．

∴数列{b_n}的公比q＝

b2

b1＝

an−an−2

a3−a2＝2

∵b₁=a₁=2

∴b_n=2ⁿ；

（2）由（1）知c_n=

an

bn=[2n−1

2n−1，

∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+

3/2]+…+[2n−1

2n−1①

∴

1/2Tn=

1

2]+[3

22+…+

2n−1

2n②

①-②可得

1/2Tn=1+

2

2]+

2

22+…+

2

2n−1-

2n−1

2n=3-

2n+1

2n

∴数列{c_n}的前n项和T_n=6-

2n+1

2n−1．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．