求数列的通项公式,a1=1,a2=2,an=1/3[a(n-1)+2a(n-2)]

2个回答

  • 由an=1/3[a(n-1)+2a(n-2)]

    可设an+k1*a(n-1)=k2*[a(n-1)+k1*2a(n-2)]

    于是

    k2-k1=1/3,

    k2*K1=2/3

    解得k2=1,k1=2/3或k2=-2/3,k1=-1

    取k2=-2/3,k1=-1得

    an-a(n-1)=-2/3[a(n-1)-a(n-2)]

    所以n>2时

    an-a(n-1)=-2/3[a(n-1)-a(n-2)]=...

    =(-2/3)^(n-2)[a(2)-a(1)]

    =(-2/3)^(n-2)

    n=2时an-a(n-1)=(-2/3)^(n-2)=1也成立

    则n>1时

    an=an-a(n-1)+.+a2-a1+a1

    =a1+a2-a1+.+an-a(n-1)

    =a1+(-2/3)^(2-2)+.+(-2/3)^(n-2)

    =a1+(-2/3)^(2-2)*[1-(-2/3)^(n-1)]/[1-(-2/3)]

    =a1+3/5*[1-(-2/3)^(n-1)]

    =8/5-3/5*(-2/3)^(n-1)

    而n=1时an=8/5-3/5*(-2/3)^(n-1)=1成立

    所以,通项公式为an=8/5-3/5*(-2/3)^(n-1)