Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=BC=1，CC1=2，AC1与平面BCC1B1所成角为30°，AB⊥平面

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）连结BC₁，由已知条件推导出CB⊥AB，CB⊥BC₁，从而得到CB⊥平面ABC₁，由此能证明CB⊥AC₁．

（Ⅱ）建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角C-AC₁-B₁的余弦值．

（Ⅰ）证明：连结BC₁，∵AB⊥平面BCC₁B₁，∴∠AC₁B=30°，

∵AB=1，∴BC₁=

3，

∵BC=1，CC₁=2，

∴BC2+BC12＝CC12，∴∠CBC1＝90 °，

∵CB⊥AB，CB⊥BC₁，∴CB⊥平面ABC₁，

∴CB⊥AC₁．

（Ⅱ）建立空间直角坐标系B-xyz，

由题意知B（0，0，0），C（1，0，0），C1(0，

3，0)，

A（0，0，1），B1(−1，

3，0)，

∴

AC1＝(0，

3，−1)，

CC1＝(−1，

3，0)，

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．