解题思路:(1)求导函数,确定函数的单调性,即可求函数f(x)的最小值;
(2)分类讨论,利用导数的正负,即可得到函数F(x)的单调性.
(1)求导函数,可得f′(x)=lnx+1(x>0),令f′(x)=0,得x=[1/e].
∵当x∈(0,[1/e])时,f′(x)<0;当x∈([1/e],+∞)时,f′(x)>0,
∴当x=[1/e]时,f(x)min=[1/e]ln[1/e]=-[1/e].
(2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0),F′(x)=
2ax2+1
x(x>0).
①当a≥0时,恒有F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a<0时,令F′(x)>0,得2ax2+1>0,解得0<x<
−
1
2a;
令F′(x)<0,得2ax2+1<0,解得x>
−
1
2a.
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在(0,
−
1
2a)上单调递增,在(
−
1
2a,+∞)上单调递减.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.