设函数f(x)=xlnx(x>0).

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  • 解题思路:(1)求导函数,确定函数的单调性,即可求函数f(x)的最小值;

    (2)分类讨论,利用导数的正负,即可得到函数F(x)的单调性.

    (1)求导函数,可得f′(x)=lnx+1(x>0),令f′(x)=0,得x=[1/e].

    ∵当x∈(0,[1/e])时,f′(x)<0;当x∈([1/e],+∞)时,f′(x)>0,

    ∴当x=[1/e]时,f(x)min=[1/e]ln[1/e]=-[1/e].

    (2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0),F′(x)=

    2ax2+1

    x(x>0).

    ①当a≥0时,恒有F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;

    ②当a<0时,令F′(x)>0,得2ax2+1>0,解得0<x<

    1

    2a;

    令F′(x)<0,得2ax2+1<0,解得x>

    1

    2a.

    综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;

    当a<0时,F(x)在(0,

    1

    2a)上单调递增,在(

    1

    2a,+∞)上单调递减.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.