Question

已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．

Answer 1

解题思路：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；

（2）利用“裂项求和”即可得出．

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，

∵a₂，a₃+1，a₆成等比数列．

∴(a3+1)2＝a2a6，

即（2d+2）²=（1+d）（1+5d），

解得d=3或d=-1．

由已知数列{a_n}各项均为正数，

∴d=3，

故a_n=1+3（n-1）=3n-2．

（2）∵bn＝

3

(n+1)(an+2)＝

1

n(n+1)＝

1

n−

1

n+1，

∴Sn＝

1

1−

1

2+

1

2−

1

3+…+

1

n−1−

1

n+

1

n−

1

n+1．

∴S_n=1-[1/n+1]=[n/n+1]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．