我个人感觉,抽象级数的敛散性要根据具体的情况进行具体的分析,并没有什么通用的方法,但只要能够牢记级数敛散性的判别方法,并能配合无穷小和不等式的一些相关知识的合理运用,相信还是可以对解题起到重大作用的.
关于你举得2个例子的证明如下：
第一题,
首先,由基本的不等式可得：0小于等于2|（u_n）x（v_n）|（中间的x是乘号）小于等于u_n^2+v_n^2,因为已知u_n^2和v_n^2都收敛,所以u_n^2+v_n^2必然收敛,于是,由正项级数的比较判别法可知2|（u_n）x（v_n）|收敛,也即级数2（u_n）x（v_n）是绝对收敛的,由绝对收敛的性质可知,2（u_n）x（v_n）必然也是条件收敛的.
再次(u_n+v_n)^2=u_n^2+2（u_n）x（v_n）+v_n^2,已知u_n^2和v_n^2都收敛,上面已证 2（u_n）x（v_n）也收敛,所以3个收敛的级数相加所得的级数必然收敛,也即(u_n+v_n)^2是收敛的,由此得证.
第二题：
已知u_n发散,则采用Cauchy收敛准则的否定描述有：存在e/2>0,任取N1属于自然数,存在n>N1,存在p1>0,使得|u_(n+1) +u_(n+2)+.+u_(n+p）|>= e/2,
由基本不等式的性质可得：
|u_(n+1)|+|u_(n+2)|+.+|u_(n+p）| >=|u_(n+1) +u_(n+2)+.+u_(n+p）|>= e/2
所以可知|u_n|也是发散的.
同理已知v_n发散,则采用Cauchy收敛准则的否定描述有：存在e/2>0,任取N2属于自然数,存在n>N2,存在p2>0,使得|v_(n+1) +v_(n+2)+.+v_(n+p）|>= e/2,
由基本不等式的性质可得：
|v_(n+1)|+|v_(n+2)|+.+|v_(n+p）|>=|v_(n+1) +v_(n+2)+.+v_(n+p）|>= e/2
所以可知|v_n|也是发散的.
有了上面的分析,则对于|u_n|+|v_u|,对于上述的e,任取N,取N=min{N1,N2},存在n>N,任取p,取p=max{p1,p2}+max{N1,N2}+min{N1,N2}
||u_(n+1)|+|v_(n+1)|+|u_(n+2)|+|v_(n+2)|+...+|u_(n+p）|+|v_(n+p）||
=|u_(n+1)|+|v_(n+1)|+|u_(n+2)|+|v_(n+2)|+.+|u_(n+p）|+|v_(n+p）|>=e
与Cauchy收敛准则相违背,所以|u_n|+|v_u|发散
当然,打字不是很方便,很多专业的数学符号和数学表达都表现不出来,只能大致证明一下.