Question

（2011•南京一模）已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，Sn是它的前n项和．求证：Sn+1Sn≤[3n+1

Answer 1

解题思路：利用等比数列的求和公式可得，S_n=3ⁿ-1，要证明

S

n+1

S

n

≤

3n+1

n

，等价于

3

n+1

−1

3

n

−1

≤

3n+1

n

即证3ⁿ≥2n+1（*）成立

（法一）用数学归纳法证明

先验证①当n=1时，（*）式成立，②再假设当n=k时（*）成立，证明当n=k+1时，命题也成立．

（法二）利用二项式定理，检验当n=1时（*）成立

当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n

从而可得

S

n+1

S

n

≤

3n+1

n

证明：由已知，得S_n=3ⁿ-1

要证明

Sn+1

Sn≤

3n+1

n等价于

3n+1−1

3n−1≤

3n+1

n即3ⁿ≥2n+1（*）

（方法一）用数学归纳法证明

①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立

②假设当n=k时（*）成立，即3^k≥2k+1

那么当n=k+1时，3^k+1=3×3^k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1

所以当n=k+1时（*）也成立

综合①②可得，3ⁿ≥2n+1

Sn+1

Sn≤

3n+1

n

（法二）当n=1时，左边=4，右边=4，所以（*）成立

当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n

所以

Sn+1

Sn≤

3n+1

n

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和；用数学归纳法证明不等式．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的前n项和公式，不等式的证明，数学归纳法证明不等式的应用，二项式定理的运用．