Question

利用三重积分求曲面z=√(x^2+y^2)及z=x^2+y^2围成的空间闭区域的体积.

Answer 1

所求体积可以看成是两个体积之差：一个体积是曲面z=√(x^2+y^2)、z=0、x^2+y^2=1围成；一个体积由z=x^2+y^2、z=0、x^2+y^2=1围成.设第一个体积为V1,第二个体积为V2,所求体积为V,则V=V1-V2.V1=∫∫∫(Ω1)dV；V2=∫∫∫(Ω2)dV；采用柱坐标：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,dV=rdrdθdz,曲面z=√(x^2+y^2)变为z=r,曲面z=x^2+y^2变为z=r^2；所以 V1=∫(0→1)rdr∫(0→2π)dθ∫(0→r)dz =∫(0→1)rdr∫(0→2π)dθ(r) =∫(0→1)r^2dr(2π) =2π/3； V2=∫(0→1)rdr∫(0→2π)dθ∫(0→r^2)dz =∫(0→1)r^3dr(2π) =π/2； 所以V=V1-V2=π/6(毕).