Question

如图,在四棱锥P_ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点.求证：DF⊥AP

Answer 1

令PA的中点为E.

∵PD⊥平面ABCD,∴AB⊥PD.

∵ABCD是正方形,∴AB⊥AD.

由AB⊥PD、AB⊥AD、PD∩AD＝D,得：AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA,又F∈PB且PF＝BF,

∴PF＝AF,而E∈PA且PE＝AE,∴AP⊥EF.

∵ABCD是正方形,∴AD＝DC,又PD＝DC,∴AD＝PD,又E∈PA且PE＝AE,∴AP⊥DE.

由AP⊥EF、AP⊥DE、EF∩DE＝E,∴AP⊥平面DEF,∴DF⊥AP.