先求正三棱锥PABC的底(正三角形ABC)面积S:
求正三角形ABC的高AK: AK = 根号[ a^2 - (a/2)^2] =( 根号3) /2
S = [a*a*(根号3)/2] / 2 = a^2(根号3)/ 4.
再求正三棱锥PABC的高 PQ:PQ = 根号{a^2 - [( 根号3) /2]*2/3]^2} = (a*根号6)/3.
最后求正三棱锥PABC的体积V: V = S*PQ / 3= [ a^2(根号3)/ 4] * [( a*根号6)/3.]/3
=a^3[ 根号18 / 36] =a^3[ 3根号2/ 36] = a^3(根号2)/12.
答:正三棱锥PABC的体积为:a^3(根号2)/12.