I）由题意可设抛物线的方程为x2=2py（p≠0）．
因为点A（a,4）在抛物线上,所以p＞0．
又点A（a,4）到抛物线准线的距离是5,所以
p
2 又点A（a,4）到抛物线准线的距离是5,所以
p
2
+4=5,可得p=2．
所以抛物线的标准方程为x2=4y．
物线准线的距离是5,所以
p
2
+4=5,可得p=2．
所以抛物线的标准方程为x2=4y．
（II）点F为抛物线的焦点,则F（0,1）．
依题意可知直线MN不与x轴垂直,
所以设直线MN的方程为y=kx+1.由
y＝kx+1
x2＝4y.
得x2−4kx−4＝0.
因为MN过焦点F,所以判别式大于零．
设M（x1,y1）,N（x2,y2）．
则x1+x2=4k,x1x2=-4．
MN
＝(x2−x1,y2−y1)＝(x2−x1,k(x2−x1)).
由于x2＝4y,所以y′＝
1
2
x.
切线MT的方程为y−y1＝
1
2
x1(x−x1),①
切线NT的方程为y−y2＝
1
2
x2(x−x2).②
由①,②,得T(
x1+x2
2
,
x1x2
4
)
则
FT
＝T(
x1+x2
2
,
x1x2
4
−1)＝(2k,−2)
所以
FT
•
MN
＝0.
（III）证明：|
FT
|2＝(2k)2+(−2)2＝4k2+4.
由抛物线的定义知|
MF
|＝y1+1,|
NF
|＝y2+1.
则|
MF
|•|
NF
|＝(y1+1)(y2+1)＝(kx1+2)(kx2+2)
=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=4k2+4．
所以|
FT
|2＝|
MF
|•|
NF
|.
即|
FT
|是|
MF
|和|
NF
|的等比中项．