Question

已知y=f(x)的反函数时f^-1(x)=-1+2^x,x∈R

Answer 1

(1) f^-1(x)+1=2^x

x=log2(f^-1(x)+1)

y=log2(x+1)

(2)g(x)-f(x)=log2((2x+4)^2)-log2(x+1)

=log2(4(x^2+2x+4)/(x+1))

=log2(4(x+1+(3/(x+1)))

由于log2(x)为增函数,所以当x+1+(3/(x+1))最小时,g(x)-f(x)最小

由基本不等式,当x+1=1/(x+1)时,去的最小值,所以x=(√3)-1

所以最小值为log2(8√3)