已知定点A(m,0) ,圆x²+y²=1上有一动点Q,若AQ的中点为P ,问：
（1）求动点P的轨迹方程C;
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M,N两点,是否存在以MN为直径的圆过点A?若存在,求出A；若不存在,说明理由.
【解】（1）求动点P的轨迹方程C
设Q点坐标为（xq,yq）,P点坐标为（xp,yp）
由中点坐标公式：xp=（xq+m）/2,yp=yq/2,变形得：xq=2xp-m,yq=2yp
由于Q点为圆上一点,故xq,yq满足圆的方程,
将上式代入圆方程可以得动点P的轨迹方程C：（2xp-m）²+4yp²=1
（2）若过原点且倾斜角为60°的直线与曲线C交于M,N两点,是否存在以MN为直径的圆过点A?若存在,求出A；若不存在,说明理由.
过原点且倾斜角为60°的直线方程为：y= √3x
由于定点A(m,0),所以定点A不在直线上.
如果定点A在圆周上,则以A为顶点的圆周角∠MAN必为直角
设M点坐标为（x1,y1),N点坐标为(x2,y2)
有：K[AM]=y1/(x1-m）【AM的斜率】；K[AN]=y2/(x2-m）【AN的斜率】
有：K[AM]*K[AN]=y1/(x1-m）*y2/(x2-m）=-1
即：y1*y2+(x1-m）*(x2-m）=0
而：y1*y2=√3x1*√3x2=3x1x2
可得：4x1x2-m(x1+x2)+m²=0 ***
将y=√3x和（2xp-m）²+4yp²=1联立消去y,求M、N两点横坐标的关系
得：16x²-4mx+m²-1=0
韦达定理：(x1+x2)=m/4；x1x2=（m²-1）/16
代入 ***式,解得：m=1/2或m=-1/2
即：存在这样的A点,坐标为（1/2,0）或（-1/2,0）
【OK】