Question

已知数列{an}的首项a1=2/3,a（n+1）=2an/（an+1）,n=1,2,…….（1）证明数列{1/an-1}

Answer 1

1

a(n+1)=(2an)/(an+1)

1/a(n+1)=(an+1)/2an=(1/2)*(1+1/an)

1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)

所以｛1/an-1}为等比数列!

2

｛1/an-1}为等比数列!

首项为1/a1-1=1/2 公比为1/2

所以：1/an-1=1/2*(1/2)^(n-1)=1/2^n

1/an=1+1/2^n

bn=n/an=n*(1/an)=n*(1+1/2^n)=n+n/2^n

Sn=1+1/2+2+2/2^2+..+n+n/2^n

=1+2+..+n+1/2+2/2^2+...+n/2^n

其中：1+2+...+n=n*(n+1)/2

S=1/2+2/2^2+..+n/2^n

S/2=1/2^2+.+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)

相减：S/2=1/2+1/2^2+.+1/2^n-n/2^(n+1)

=1-1/2^n-n/2^(n+1)

S=2-1/2^(n-1)-n/2^n

所以：Sn=1+1/2+2+2/2^2+..+n+n/2^n

=1+2+..+n+1/2+2/2^2+...+n/2^n

=n*(n+1)/2+2-1/2^(n-1)-n/2^n