打了这么多字,太辛苦了.
1.
【图略,很简单的.】
把三棱锥沿侧棱AB剪开并把这三个侧面展平,
连结BB'（B'折回去就是B点）,
则线段BB'的长就是截面三角形周长的最小值.
设∠BAC=α,则cosα=(4a^2+4a^2-a^2)/(2*2a*2a)=7/8
因为∠BAB'=3∠BAC=3α
所以cos3α=4(cosα)^3-3cosα=4(7/8)^3-3*(7/8)=7/128
所以BB'=√(4a^2+4a^2-2*2a*2a*(7/128))=(11/4)a
即截面三角形的最小周长为(11/4)a
由海伦公式计算△ABB'的面积：
x=2a,y=2a,z=(11/4)a
p=(x+y+z)/2
S(△ABB')=((p*(p-x)*(p-y)*(p-z)))^(1/2)
=[(33√15)/64]a^2
所以BB'边上的高h=2*[(33√15)/64]a^2 / [(11/4)a]
h=(1/11)*[(33√15)/8]a
△ACD底边CD上的高h'=(1/2)*(√15)a
又因为△AEF∽△ACD
所以EF/CD=h/h'
所以EF=CD*(h/h')=a*(3/4)
所以BE=FB'=[(11/4)a-(3/4)a]/2=a
△BEF(折回去后)根据三边BE=a、FB'=a、EF=(3/4)a
再根据海伦公式计算得出：
S(△BEF)=[(3/64)*√55]a^2
2.
【图略,下文中O是底面圆心,面A1B1C1D1位于圆锥顶点和底面之间,O1是A1B1C1D1所在平面的圆心】
设正四棱柱ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥SO
过该正四棱柱的对角面AA1C1C作圆锥的截面SEF
则△SEF为圆锥S的轴截面
四边形AA1C1C是△SEF的内接矩形
设圆锥的高SO交A1C1于O1.
因为OE=R,SO=√3R
所以∠ESO＝30°
所以SO1＝√3O1A1
设正四棱柱的底面边长为a,高为h.
则A1C1＝√2a,OO1＝h
因为O1A1＝1/2A1C1＝a√2/2
所以SO1＝a√6/2
所以h=√3R－a√6/2
所以正棱柱表面积S＝2a^2+4ah=2a^2+4a(√3R－a√6/2)=(2-2√6)a^2+4√3aR
因为2-2√60）
向量OM=(c,d) 向量ON=(a,b)
(c,d)=k(a,b)
c=ka
d=kb
所以点M的坐标为(ka,kb)
|OM|=√[(ka)²+(kb)²]
=√[k²(a²+b²)]
=k√(a²+b²)
|ON|=√(a²+b²)
则|OM|·|ON|
=k(a²+b²)
=120
又因为点M在圆上
点M的坐标满足圆的方程：x²+y²-6x-8y=0
(ka)²+(kb)²-6ka-8kb=0
k(ka²+kb²-6a-8b)=0
120-6a-8b=0
3a+4b-60=0
所以点N的轨迹方程是：3x+4y-60=0
5.
你题目中的函数忘了写了.
6.
f(x)=(√a)sin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]
=√(a+1)sin{[(1-a)x]+φ},其中tanφ=1/(√a)
≤√(a+1)
因为题设说f(x)最大值为2
即√(a+1)=2,即a=3
所以f(x)=2sin(-2x+φ),其中tanφ=1/(√3)
所以其最小正周期是：2π/|-2|=π
7.
【该题引用楼上兄弟的答案.】
sina+sinb=-sinc
cosa+cosb=-cosc
两边同时平方
(sina+sinb)^2=(-sinc)^2
(cosa+cosb)^2=(-cosc)^2
全部展开得
(sina)^2+(sinb)^2+2sina*sinb=(sinc)^2
(cosa)^2+(cosb)^2+2cosa*cosb=(cosc)^2
全部相加得
2(cosa*cosb+sina*sinb)=-1
cos(a-b)=-1/2
因为是偶函数
cos(b-a)=-1/2
由0＜a＜b＜c＜2π,得0＜b-a＜2π,b-a为第二象限或第三象限
故得b-a=2π/3或4π/3