解题思路：（Ⅰ）因为
f(x)＝
ax
a+x
，f（2）=1，可得[2a/a+2]=1，由此解得a的值．
（Ⅱ）根据在{an}中，a1=1，
a
n+1
＝f(
a
n
)＝
2
a
n
2+
a
n
，令n=1、2、3，即可求得a2，a3，a4的值，由此猜想通项公式an．
（Ⅲ）由题意可得[1
a
n+1
＝
2+
a
n
2
a
n
＝
1
a
n
+
1/2]，即[1
a
n+1
−
1
a
n
＝
1/2]，根据等差数列的通项公式求出
{
1
a
n
}
的通项公式，即可得到{an}的通项公式．
（Ⅰ）因为f(x)＝
ax
a+x，f（2）=1，
所以[2a/a+2]=1，解得 a=2．…（2分）
（Ⅱ）在{an}中，因为a1=1，an+1＝f(an)＝
2an
2+an．
所以a2＝
2a1
2+a1＝
2
3，a3＝
2a2
2+a2＝
1
2＝
2
4，a4＝
2a3
2+a3＝
2
5，
所以猜想{an}的通项公式为an＝
2
n+1．…（6分）
（Ⅲ）证明：因为a1=1，an+1＝
2an
2+an，
所以[1
an+1＝
2+an
2an＝
1
an+
1/2]，即[1
an+1−
1
an＝
1/2]．
所以{
1
an}是以[1
a1＝1为首项，公差为
1/2]的等差数列．
所以[1
an＝1+(n−1)
1/2＝
1
2n+
1
2]，所以通项公式an＝
2
n+1．…（9分）
点评：
本题考点： 分析法和综合法；归纳推理．
考点点评： 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，不完全归纳法的应用，用综合法证明等式，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
1年前
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