Question

已知函数f(x)=x^2+2x,设g(x)=f(x)+x^3-x^2,求证,当n∈n*时,g(n)能被3整除. 解答过程

Answer 1

g(x)=f(x)+x^3-x^2=x^2+2x+x^3-x^2=2x+x^3

g(n)=2n+n^3

使用数学归纳法进行证明

当n=1时,g(1)=2*1+1^3=3,显然能被3整除.

假设当n=N时,g(N)=2N+N^3能被3整除

当n=N+1时,g(N+1)=2*(N+1)+(N+1)^3=2N+2+N^3+3N^2+3N+1=(2N+N^3)+3(N^2+N+1)

显然g(N+1)能被3整除.

所以当n∈n*时,g(n)能被3整除

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