Question

已知向量A由（a1,a2,a3）线性表示且表达式唯一,证明a1,a2,a3线性无关

Answer 1

用反证法

若a1,a2,a3线性相关,则存在不全为0的

k1,k2,k3使得

k1a1+k2a2+k3a3 = 0

别外 存在唯一的一组p1,p2,p3使得

p1a1+p2a2+p3a3 = A

两试相加有(k1+p1)a1+(k2+p2)a2+(k3+p3)a3=A

由于k1,k2,k3中至少有一个不为0,这说明

(k1+p1),(k2+p2),(k3+p3),中至少能找少一个与对应p1,p2,p3不等

于是找到了A关于a1,a2,a3的两个线性表示,与唯一性矛盾

证毕