(1)因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4),
故可设其关系式为y=a(x-2)2+4(1分)
又∵抛物线经过O(0,0),
∴得a(0-2)2+4=0,(2分)
解得a=-1(3分)
∴所求函数关系式为y=-(x-2)2+4,
即y=-x2+4x.(4分)
(2)①点P不在直线ME上.(5分)
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0),
又M的坐标为(2,4),
设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得
4k+b=0
2k+b=4,
解得
k=−2
b=8
所以直线ME的关系式为y=-2x+8.(6分)
由已知条件易得,当t=[5/2]时,OA=AP=[5/2],
∴P([5/2],[5/2])(7分)
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
∴当t=[5/2]时,点P不在直线ME上.(8分)
②S存在最大值.理由如下:(9分)
∵点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,
∴OA=AP=t.
∴点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)
∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),
∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,
∴PN=-t2+3t(10分)
(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,
∴S=[1/2]DC•AD=[1/2]×3×2=3.(11分)
(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD,AD⊥CD,
∴S=[1/2](CD+PN)•AD=[1/2][3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3=-(t-[3/2])2+[21/4]
其中(0