(2009•海南)如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重

1个回答

  • (1)因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4),

    故可设其关系式为y=a(x-2)2+4(1分)

    又∵抛物线经过O(0,0),

    ∴得a(0-2)2+4=0,(2分)

    解得a=-1(3分)

    ∴所求函数关系式为y=-(x-2)2+4,

    即y=-x2+4x.(4分)

    (2)①点P不在直线ME上.(5分)

    根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0),

    又M的坐标为(2,4),

    设直线ME的关系式为y=kx+b.

    于是得

    4k+b=0

    2k+b=4,

    解得

    k=−2

    b=8

    所以直线ME的关系式为y=-2x+8.(6分)

    由已知条件易得,当t=[5/2]时,OA=AP=[5/2],

    ∴P([5/2],[5/2])(7分)

    ∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.

    ∴当t=[5/2]时,点P不在直线ME上.(8分)

    ②S存在最大值.理由如下:(9分)

    ∵点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,

    ∴OA=AP=t.

    ∴点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)

    ∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),

    ∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,

    ∴PN=-t2+3t(10分)

    (ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,

    ∴S=[1/2]DC•AD=[1/2]×3×2=3.(11分)

    (ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形

    ∵PN∥CD,AD⊥CD,

    ∴S=[1/2](CD+PN)•AD=[1/2][3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3=-(t-[3/2])2+[21/4]

    其中(0