Question

设函数 f(x)= x+a x+b (a＞b＞0) ，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．

Answer 1

函数 f(x)=

x+a

x+b 的定义域为（-∞，-b）∪（-b，+∞）．

f（x）在（-∞，-b）内是减函数，f（x）在（-b，+∞）内也是减函数．

证明f（x）在（-b，+∞）内是减函数．

取x ₁，x ₂∈（-b，+∞），且x ₁＜x ₂，那么 f( x 1 )-f( x 2 )=

x 1 +a

x 1 +b -

x 2 +a

x 2 +b =

(a-b)( x 2 - x 1 )

( x 1 +b)( x 2 +b) ，

∵a-b＞0，x ₂-x ₁＞0，（x ₁+b）（x ₂+b）＞0，

∴f（x ₁）-f（x ₂）＞0，

即f（x）在（-b，+∞）内是减函数．

同理可证f（x）在（-∞，-b）内是减函数．