解题思路:(1)欲求函数f(x)的解析式,只须求出切线斜率的值,f(1),列出方程组即可;(2)设过点(2,2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(t,f(t)),可得切线方程为y=(3t2-1)x-2t3,由切线过点(2,2)得:t3-3t2+2=0,从而问题转化为方程t3-3t2+2=0的实根个数,利用导数法可求.
(1)f′(x)=3ax2+b,由题知…(1分)
f′(1)=2
f(1)=2-2=0⇒
3a+b=2
a+b=0⇒
a=1
b=-1
∴f(x)=x3-x…(5分)
(2)设过点(2,2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(t,f(t)),则切线方程为:y-f(t)=f′(t)(x-t)
即y=(3t2-1)x-2t3…(7分)
由切线过点(2,2)得:2=(3t2-1)•2-2t3,过点(2,2)可作曲线y=f(x)的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数…(9分)
令g(t)=t3-3t2+2,则g′(t)=3t(t-2)
由g′(t)=0得t1=0,t2=2
当t变化时,g(t)、g′(t)的变化如下表
t (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
g′(t) + 0 - 0 +
g(t) ↗ 极大值2 ↘ 极小值-2 ↗由g(0)•g(2)=-4<0知,故g(t)=0有三个不同实根可作三条切线…(13分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法.
考点点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于中档题.