以A点为原点,建立坐标系；设正三角形△ABC边长为a
设P,Q两点运动的速度为1,经时间t后,走过的路程为t
点A,B,C的坐标分别为A(0,0), B(a,0), C(a/2,√3a/2)
时间为t时,点P的坐标为P(t,0),点Q的坐标为Q(a/2-tcos60°,√3a/2+tsin60°)
直线AC的方程为 y=tan60°x=√3x
直线PQ的方程为 y=(√3a/2+tsin60°)/(a/2-tcos60°-t)*(x-t)
直线PE的方程为 y=-1/√3*(x-t)
由直线AC和PQ联立,可得 √3x=(√3a/2+tsin60°)/(a/2-tcos60°-t)*(x-t)
由此可解得点D的坐标为 D((a+t)/4,√3(a+t)/4)
由直线AC和PE联立,可得 √3x=-1/√3*(x-t)
由此可解得点E的坐标为 E(t/4,√3t/4)
∴可得DE=√[((a+t)/4-t/4)^2+(√3(a+t)/4-√3t/4)^2]
=√[(a/4)^2+(√3a/4)^2]
=a/2
由此可见,线段DE的长度为定值a/2,即恒为边长的一半
与P,Q的运动时间无关,也与P点的位置无关,不用分类讨论