解题思路：（1）当m=1时，求出原函数的导函数得到f′（2），再求得f（2）的值，然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）由导数求出原函数的单调区间，然后对m分类求出函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增的实数m的取值范围．
（1）当m=1时，f（x）=[1/3]x3+x2-3x+1，
f′（x）=x2+2x-3，
∴f′（2）=5．
又f（2）=[5/3]，
∴所求切线方程为y-[5/3]=5（x-2），即15x-3y-25=0．
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为15x-3y-25=0；
（2）∵f′（x）=x2+2mx-3m2，
令f′（x）=0，得x=-3m或x=m．
当m=0时，f'（x）=x2≥0恒成立，满足函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增．
当m＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m），（m，+∞），
若f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，
则
m＞0
2m−1＜m+1
2m−1≥m，解得1≤m＜2．
当m＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，m），（-3m，+∞），
若f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，
则
m＜0
2m−1＜m+1
m+1＜m，m∈∅．
综上所述，实数m的取值范围是m=0或1≤m＜2．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．