解题思路：根据三角形两边之和大于第三边与三角形是钝角三角形，列式解出1＜a＜3；再根据最大内角不超过120°，建立关于a的不等式，得到a≤-1或a≥[3/2]．最后取交集即可得到实数a的取值范围．
∵三角形的三边长分别为a、a+1、a+2，
∴a+（a+1）＞a+2，解得a＞1；
∵三角形是钝角三角形，
∴a2+（a+1）2＜（a+2）2，解之得-1＜a＜3；
因此，可得1＜a＜3．
又∵最大内角不超过120°，
∴
a2+(a+1)2−(a+2)2
2a(a+1)≥-[1/2]，解之得a≤-1或a≥[3/2]
综上所述，可得实数a的取值范围为[[3/2]，3）．
点评：
本题考点： 余弦定理．
考点点评： 本题给出钝角三角形的三边长，在最大内角不超过120°的情况下求参数a的范围．着重考查了三角形两边之和大于第三边和钝角三角形的性质与判定等知识，属于中档题．