设A,B,C为任意△ABC的三个顶点,则a、b、c为与之对应的三边.S=S△ABC.
∵a²=b²+c²-2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC
∴cosA= (b²+c²-a²)/(2bc),cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab);
∴S²=(bcsinA/2) ²=b²c²(1-cos²A)/4
=[4b²c²-(b²+c²-a²) ²]/16
=[a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)+c²(a²+b²-c²)]/16
=[a²(a+b+c)(b+c-a)+ b²(a+b+c)(a+c-b)+c²(a+b+c)(a+b-c)-2abc(a+b+c)]/16···①
=(a+b+c)[a²(b+c-a)+b²(a+c-b)+ c²(a+b-c)-2abc]/16
=(a+b+c)(b+c-a)(a²-b²-c²+2bc)/16···②
=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16···③;
∴S=[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16]^½ ···④
令p=(a+b+c)/2,得：
S=[p(p-a)(p-b)(p-c)] ^½.
注释：
① 先将括号内配方,然后再化简.如：a²(b²+c²-a²)=a²[(b+c)²-a²-2bc]=a²(a+b+c)(b+c-a)-2a²bc.
② 用长除法分解因式.
③ 同②.
④ X^½表示X的算术平方根.
wuqing