Question

（2014•湘潭）已知二次函数y=-x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，

Answer 1

解题思路：（1）由对称轴为x=-[b/2a]，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．

（2）

S

△AOB

S

△BOC

=[1/3]，且两三角形为同高不同底的三角形，易得[AB/BC]=[1/3]，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为[AB/AC]=[1/4]．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．

（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值．

（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，

∴-[b

2•(−1)=2，0=0+0+c，

∴b=4，c=0，

∴y=-x²+4x．

（2）如图1，连接OB，OC，过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，

∵

S△AOB

S△BOC=

1/3]，

∴[AB/BC]=[1/3]，

∴[AB/AC]=[1/4]，

∵EB∥FC，

∴[EB/FC]=[AB/AC]=[1/4]．

∵y=kx+4交y=-x²+4x于B，C，

∴kx+4=-x²+4x，即x²+（k-4）x+4=0，

∴△=（k-4）²-4•4=k²-8k，

∴x=

(4−k)−

k2−8k

2，或x=

(4−k)+

k2−8k

2，

∵x_B＜x_C，

∴EB=x_B=

(4−k)−

k2−8k

2，FC=x_C=

(4−k)+

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握．