Question

a1,a2,…an是一组n维向量,证明：它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量组都可以由它们线性表示.

Answer 1

证明 必要性

设a为任一n维向量

因为a1 a2 …… an线性无关

而a1 a2  …… an a是n+1个n维向量

是线性相关的

所以a能由a1 a2  …… an线性表示

且表示式是唯一的

充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2  …… an线性表示,

故单位坐标向量组e1 e2  …… en能由a1 a2  …… an线性表示,

于是有n=R(e1 e2  …… en)≤R(a1 a2 ……  an)≤n

即R(a1 a2  …… an)=n

所以a1 a2  …… an线性无关