在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AB=8,BC=14,点E、F分别在边AB、CD上,EF∥AD

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  • 解题思路:(1)过D作DH⊥BC,DH与EF、BC分别相交于点G、H,从而判定四边形ABHD是矩形,在RT△DHC中求出CH的长,利用AD=BH=BC-CH可得出AD的长.

    (2)首先确定PM=PN,过点P作QR⊥EF,QR与EF、MN分别相交于Q、R,根据∠MPN=∠EPF=90°,QR⊥MN,可表示出PQ、PR,继而可得出y关于x的函数解析式,也能得出定义域.

    (3)①当点P在梯形ABCD内部时,由MN=2及(2)的结论得2=-3x+10,AE=

    x=

    8

    3],可求得梯形的面积,②当点P在梯形ABCD外部时,由MN=2及与(2)相同的方法得:

    1

    2

    (x+6)−

    1

    2

    ×2=8−x

    ,AE=x=4,可求得梯形的面积.

    (1)过D作DH⊥BC,DH与EF、BC分别相交于点G、H,

    ∵梯形ABCD中,∠B=90°,

    ∴DH∥AB,

    又∵AD∥BC,

    ∴四边形ABHD是矩形,

    ∵∠C=45°,

    ∴∠CDH=45°,

    ∴CH=DH=AB=8,

    ∴AD=BH=BC-CH=6.

    (2)∵DH⊥EF,∠DFE=∠C=∠FDG=45°,

    ∴FG=DG=AE=x,

    ∵EG=AD=6,

    ∴EF=x+6,

    ∵PE=PF,EF∥BC,

    ∴∠PFE=∠PEF=∠PMN=∠PNM,

    ∴PM=PN,

    过点P作QR⊥EF,QR与EF、MN分别相交于Q、R,

    ∵∠MPN=∠EPF=90°,QR⊥MN,

    ∴PQ=[1/2]EF=[1/2(x+6),PR=

    1

    2]MN=[1/2y,

    ∵QR=BE=8-x,

    1

    2(x+6)+

    1

    2y=8−x,

    ∴y关于x的函数解析式为y=-3x+10.定义域为1≤x<

    10

    3].

    (3)当点P在梯形ABCD内部时,由MN=2及(2)的结论得2=-3x+10,AE=x=

    8

    3,

    ∴S梯形AEFD=

    1

    2(AD+EF)•AE=[1/2(6+6+

    8

    3)×

    8

    3=

    176

    9],

    当点P在梯形ABCD外部时,由MN=2及与(2)相同的方法得:[1/2(x+6)−

    1

    2×2=8−x,AE=x=4,

    ∴S梯形AEFD=

    1

    2](AD+EF)•AE=[1/2(6+6+4)×4=32.

    点评:

    本题考点: 梯形;根据实际问题列一次函数关系式.

    考点点评: 本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识,属于综合性较强的题目,难度较大,对于此类题目要学会由小及大,将所求的问题缩小,一步一步求解.

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