在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长

1个回答

  • 设直线方程为y-1=k(x-2)

    直线和椭圆两交点为(x1,y1)(x2,y2)

    则有x1²+4y1²=16

    x2²+4y2²=16

    两式相减得x1²-x2²+4y1²-4y2²=0

    即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 (1)

    因为M(2,1)是点(x1,y1)和点(x2,y2)的中点,则有

    (x1+x2)/2=2;(y1+y2)/2=1

    x1+x2=4;y1+y2=2

    代入(1)式得:

    4(x1-x2)+4*2(y1-y2)=0

    弦的斜率为 k=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2

    设 弦的方程为y=-x/2+m,因为过 M(2,1)点,则有1=-2/2+m,m=2

    则方程为y=-x/2+2

    因为该弦与椭圆的交点分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点,

    所以弦长为2倍的根号5