Question

一节数学课,老师布置了一道课后练习题.如图,已知在Rt三角形ABC中,AB=BC,角ABC=90°,BO AC

Answer 1

（1）证明：∵PB=PD,

∴∠2=∠PBD,

∵AB=BC,∠ABC=90°,

∴∠C=45°,

∵BO⊥AC,

∴∠1=45°,

∴∠1=∠C=45°,

∵∠3=∠PBC-∠1,∠4=∠2-∠C,

∴∠3=∠4,

∵BO⊥AC,DE⊥AC,

∴∠BOP=∠PED=90°,

在△BPO和△PDE中

∠3＝∠4

∠BOP＝∠PED

BP＝PD

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4,

∵BP平分∠ABO,

∴∠ABP=∠3,

∴∠ABP=∠4,

在△ABP和△CPD中

∠A＝∠C

∠ABP＝∠4

PB＝PD

∴△ABP≌△CPD（AAS）,

∴AP=CD．

（3）CD′与AP′的数量关系是CD′=

2

3

AP′．

理由是：设OP=PC=x,则AO=OC=2x=BO,

则AP=2x+x=3x,

由△OBP≌△EPD,则BO=PE

PE=2x,CE=2x-x=x,

∵∠E=90°,∠ECD=∠ACB=45°,

∴DE=x,由勾股定理得：CD=

2

x,

即AP=3x,CD=

2

x,

∴CD′与AP′的数量关系是CD′=

2

3

AP′