1.同侧时
1' 若两直线平行,则所成角为0
2' 若两直线不平行.
如图1,作任意两条不与平面α平行的同侧直线,平移使它们交于平面同一点O,分别在直线上取点A和B,过A.B作AM.BN⊥α于M.N,令AM=BN.则AMNB为矩形,因此AB=MN
由题,∠AOM=∠A,∠BON=∠B,∠MON=∠C
两直线所成角为∠AOB,为所求
余弦定理,cos∠C=(OM^2+ON^2-MN^2)/(2*OM*ON)
cos∠AOB=(AO^2+BO^2-AB^2)/(2*AO*BO)
=(AM^2+OM^2+BN^2+ON^2-MN^2)/[2*(OM/cos∠A)*(ON/cos∠B)]
=(cos∠Acos∠B)(OM^2+ON^2-MN^2+AM^2+BN^2)/(2*OM*ON)
=(cos∠Acos∠B)[(OM^2+ON^2-MN^2)/(2*OM*ON)+(AM^2+BN^2)/(2*OM*ON)
=(cos∠Acos∠B)[cos∠C+(2*AM*BN)/(2*OM*ON)]
=(cos∠Acos∠B)[cos∠C+(tan∠A*OM*tan∠B*ON)/(OM*ON)]
=cos∠Acos∠Bcos∠C+sin∠Asin∠B
即在同侧的情况下,两直线所成角为arc cos(cos∠Acos∠Bcos∠A+sin∠Asin∠B)
2.异测时
1'若两直线平行,则所成角为0
2'若两直线不平行
如图2,任意作两条不与平面α平行的异侧直线,平移使它们交于平面同一点O.分别在直线上取点A和B,延长BO至B',使B与A在同侧,过A.B作AM.BN⊥α于M.N,令AM=B'N.
因为空间几何中,任意两条直线的夹角都是小于等于90度的,若成钝角,应取其补角.
由题AOM=∠A,∠BON==AOM=∠A,∠BON=∠B'ON=∠B,∠MON'=∠C
两直线所成角为∠AOB,为钝角.因此∠AOB'为所求.
由此,转化为同侧直线为题,证明参见1.
综上,不管两直线存在于平面的同侧还是异侧,只要不平行,夹角均为arc cos(cos∠Acos∠Bcos∠C+sin∠Asin∠B)