Question

已知圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-2=0对称；

Answer 1

解题思路：（1）在圆C₂上任取一点M（x，y），求出点M关于直线x-y-2=0的对称点为N（y+2，x-2），再将N坐标代入圆C₁的方程，化简即可得到圆C₂的方程；

（2）由（1）得圆C₂的圆心为（3，-3），半径r=1．当直线l与圆C₂相切时，点C₂到直线l的距离等于半径r，由此设出直线方程，利用点到直线的距离公式加以计算，即可得到所求切线l的方程．

（1）在圆C₂上任取一点M（x，y），此点关于直线x-y-2=0的对称点为N（m，n）

则

y-n

x-m=-1

1

2(x+m)-

1

2(y+n)-2=0，解得

m=y+2

n=x-2，

∵点N（m，n）即N（y+2，x-2）在圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1上，

∴（y+2+1）²+（x-2-1）²=1，

化简得（x-3）²+（y+3）²=1，即为圆C₂的方程；

（2）设经过点（2，0）圆C₂的切线l方程为y=k（x-2），

∵圆C₂的方程为（x-3）²+（y+3）²=1，

∴圆心为C₂（3，-3），半径r=1．

∵直线l与圆C₂相切，

∴点C₂到直线l的距离等于半径，即

|3k+3-2k|

k2+1=1，

解之得k=-[4/3]，得切线l方程为y=-[4/3]（x-2），化简得4x+3y-8=0；

当直线l的斜率不存在时，方程为x=2，也满足直线l与圆C₂相切．

综上所述，可得点（2，0）的圆C₂的切线l方程为x=2或4x+3y-8=0．

点评：

本题考点： 圆的标准方程；圆的切线方程．

考点点评： 本题求一个圆关于定直线对称的圆的方程，并求过定点的圆的切线．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．