①③④。
∵抛物线开口向下，∴a＜0。∴2a＜0。
∵对称轴x=
＞1，﹣b＜2a，∴2a+b＞0。故选项①正确。
∵﹣b＜2a，∴b＞﹣2a＞0＞a，
取符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点的一函数，如
，
令
，得
。
由
得
。
∴
。
当
时，a＞c，a＜c，a= c都有可能。故②选项错误。
∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x==
＞1，
＞2，m+n＜
。故选项③正确。
当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，∴3a+c＞﹣2b。∴﹣3a﹣c＜2b。
∵a＜0，b＞0，c＜0，∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|。故④选项正确。
综上所述，正确的结论是①③④。