Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面边长AB=2，侧棱BB 1 的长为4，过点B作B 1

Answer 1

（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD ₁所在直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得

D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

A ₁（2，0，4），B ₁（2，2，4），C ₁（0，2，4），D ₁（0，0，4）…（2分）

设E（0，2，t），则

BE =(-2，0，t)，

B 1 C =(-2，0，-4) ．

∵BE⊥B ₁C，

∴可得

BE •

B 1 C =4+0-4t=0 ．解之得t=1，

∴E（0，2，1），且

BE =(-2，0，1) ．

又∵

A 1 C =(-2，2，-4)，

DB =(2，2，0) ，…（4分）

∴

A 1 C •

BE =4+0-4=0

且

A 1 C •

DB =-4+4+0=0 …（6分）

∴

A 1 C ⊥

DB 且

A 1 C ⊥

BE ．

∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．

∴

A 1 C ⊥ 平面BDE…（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得

A 1 C =(-2，2，-4) 是平面BDE的一个法向量，

又∵

A 1 B =(0，2，-4) ，

∴ cos＜

A 1 C ，

A 1 B ＞=

A 1 C •

A 1 B

|

A 1 C ||

A 1 B | =

30

6 ，

因此，可得A ₁B与平面BDE所成角的正弦值为

30

6 …（12分）