解题思路：（1）根据题意，结合菱形的判定定理即可推出四边形AMPE为菱形，
（2）①四边形AMPE为菱形，即可得：∠MAP=[1/2]α，S1=[1/2]OA•OM，OA=[1/2]PA，又由在Rt△AOM中，tan[α/2]=[OM/OA]，求得OM=OA•tan[α/2]；则可得
S
1
tan
a
2
＝
1
8
P
A
2
；
②首先过点D作DH⊥BC于H，则DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，求得PN=1+x，在Rt△ANP中，由AP2=AN2+PN2，可求得AP2的值，然后过E作PM⊥EG于G，令△EGM的面积为S，由△EGM∽△AOM，即可得S=
4
x
2
AP
2
S1，则问题得解．
（1）答案为：菱形；
（2）①证明：
∵四边形AMPE为菱形，
∴∠MAP=[1/2]α，S1=[1/2]OA•OM，OA=[1/2]PA，
∵在Rt△AOM中，tan[α/2]=[OM/OA]，
∴OM=OA•tan[α/2]；
∴S1=[1/2]OA•OM=[1/2]×[1/2]PA×[1/2]PA•tan[α/2]=[1/8]PA2•tan[α/2]
∴
S1
tan
a
2＝
1
8PA2；
②过点D作DH⊥BC于H，交PN于K．
则：DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，
∵CH=BC-BH=2-1=1，
∴CH=DH，
∴PK=DK=x，
∴PN=1+x，
在Rt△ANP中，
AP2=AN2+PN2=x2+（1+x）2=2x2+2x+1．
过E作EG⊥PM于G，令△EGM的面积为S，
∵△EGM∽△AOM，
∴
S
S1＝(
EG
AO)2=
x2
1
4AP2=
4x2
AP2，
则S=
4x2
AP2S1，
∵△AOE由△POE折叠而成，
∴AE=PE，AP⊥EM，
∵四边形AMPE是菱形，
∴AN=DK=x，
如图，当E与D重合时，
∵PN=1+x，AN=x，AM=AD=PM=PD=1，
∴MN=PN-PM=1+x-1=x，
∴AN=MN，
在Rt△AMN中，AN2+MN2=AM2，
∴x2+x2=12，
∴x=
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；直角梯形；解直角三角形．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，三角函数的性质以及二次函数的知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．