解题思路:可运用正弦定理的变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入恒等式的左边,运用二倍角的正弦和两角和的正弦公式,化简得到8RsinA•sinB•sinC,同样对右边运用变形即可证得.
证明:∵△ABC中,
a
sinA=
b
sinB=
c
sinC=2R(R为外接圆的半径)
∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴a2sin2B+b2sin2A=2a2sinB•cosB+2b2sinA•cosA
=8R2sinA•sinB•(sinAcosB+sinBcosA)
=8R2sinA•sinB•sin(A+B)
=8R2sinA•sinB•sin(π-C)
=8R2sinA•sinB•sinC,
又2absinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=8R2sinA•sinB•sinC,
∴a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
点评:
本题考点: 正弦定理;三角函数恒等式的证明.
考点点评: 本题主要考查正弦定理及应用,注意边化为角,考查二倍角的正弦以及两角和的正弦公式,考查运算化简能力,是一道基础题.