Question

已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，

Answer 1

解题思路：（1）设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程利用由弦长公式可得答案．

（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），A（1，1）为EF中点，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．

（1）由题意可得：过点F且斜率为1的直线方程为y=x-2，

联立直线与椭圆的方程可得：14x²-36x-9=0，

∴x₁+x₂=[18/7]，x₁•x₂=-[9/14]，

由弦长公式可得：|MN|=

1+1•

(

18

7)2+

36

14=[30/7]

（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），

∵A（1，1）为EF中点，

∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

把E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）分别代入椭圆5x²+9y²=45，

得5x₁²+9y₁²=45，5x₂²+9y₂²=45

∴5（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，

∴10（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，

∴k=

y1−y2

x1−x2=-[5/9]，

∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-1=-[5/9]（x-1），

整理，得5x+9y-14=0．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的应用，考查了弦长问题与弦中点问题，正确运用点差法是关键．