Question

方程|cosx|/x=m,(m>0)有且仅有两个不同的实数解α,β（β>α),证明cosα=αsinβ

Answer 1

证明：|cosx|/x=m,(m>0)有且仅有两个不同的实数解α,β（β>α),

即y=|cosx|与y=mx在x>0时只有两个不同的交点

又m>0,所以在（0,п/2)上必有一个交点其横坐标为α,所以cosα=αm

另一交点必须在（п/2,п）上此时两者相切,即y=-cosx与y=mx在（п/2,п）上相切

故m=切点处曲线的导数,即m=sinβ

所以cosα=αsinβ