1、假如(0,1)和[0,1)同胚的话,那么自然有一个同胚映射
f:[0,1) ----> (0,1) （为了方便,我把[0,1)放左边了）,
于是
f:[0,1) - {0} -----> (0,1) - {f(0)} 也是同胚.
[0,1)中去掉0,仍然是连通的；但是(0,1)去掉f(0),自然分成两段.所以就矛盾了.总之就是说,[0,1)中去掉0仍然连通,但是(0,1)去掉一个点就不连通了,而连通是拓扑性质.
类似,[0,1]去掉0和1,仍然连通,但[0,1)或者(0,1）,去掉两个点,就不连通了.所以这三个互不同胚.
2、只说一下情形.A= (0,1) * [0,1)是个矩形,带一条边；而B=[0,1]*[0,1)是个矩形,带三条边.想要构造一个同胚,基本就是要把那一条边给折断,成为三条边.为了省事,先把这两个矩形都映成单位圆盘,映的方法就是把矩形边界上的点x映成x/|x|,其余点按比例向中心靠拢.这样A就变成一个圆盘,它的边界是个圆周,这个圆周上有一个周长是整个圆周1/4的弧,这个弧上的点在A里,圆周上其余的点不在A里.B也成为这样的一个圆盘,只不过圆周上3/4的点在B里.现在只要把A的那 1/4弧“拉长”,成为B的那3/4弧就行了.解析式写起来大概非常麻烦,容我偷懒好了.