Question

设函数f(x)有一阶连续导数,又a(a>0)为函数F(x)=定积分x-0(x^2-t^2)f‘(t)dt的驻点.试证:在

Answer 1

F(x)=x^2*积分（从0到x）f'(t)dt--积分（从0到x）t^2f'(t)dt,

则F'(x)=2x*积分（从0到x）f'(t)dt（后面两项相减为0）；

a是F(x)的驻点,即F'(a)=0,且a>0,于是有

积分（从0到a）f'(t)dt=0.

上式即为f(a)--f(0)=0,f(a)=f(0).由

微分中值定理知道,存在c位于（0,a）,使得

f'(c)=0.