Question

在面积为定值的扇形中,半径是多少时扇形周长最小?在周长为定值的扇形中,半径是多少时扇形面积最大?

Answer 1

1.设面积为S,半径r,弧长l,周长C

则:S=1/2lr===>l=2S/r

所以 C=l+2r=2S/r+2r=2(r+S/r)>=2*2(r*S/r)^(1/2)

=4S^(1/2)当且仅当r=S/r,即r=S^(1/2)时取等号

所以当r=S^(1/2)时,扇形周长最小C(min)=4S^(1/2)

2.设面积为S,半径r,弧长l,周长C

则:C=l+2r===>l=C-2r

所以S=1/2lr=1/2lr=1/2(C-2r)r=-(r-C/4)^2+C^2/16

当r=C/4时,S有最大值S(max)=C^2/16