记原行列式为A,将所有行加到第一行上,并提出公因子 1/2*n(n+1) 得到：
1 1 1 ... 1
2 3 4 ... 1
A=1/2*n(n+1) 3 4 5 ... 1
... ... ... ...
n-1 n 1 ... n-2
n 1 2 ... n-1
所有列减去第一列得到：
1 0 0 ... 0 0
2 1 2 ... n-2 -1
A=1/2*n(n+1) 3 1 2 ... -2 -1
... ... ... ... ...
n-1 1 2-n ... -2 -1
n 1-n 2-n ... -2 -1
按第一行展开得到：
1 2 ... n-2 -1
A=1/2*n(n+1) 1 2 ... -2 -1
... ... ... ... ...
1 2-n ... -2 -1
1-n 2-n ... -2 -1
将最后一行乘以 -1 加到前面 n-2 行上得到：
n n ... n 0
A=1/2*n(n+1) n n ... 0 0
... ... ... ... ...
n 0 ... 0 0
1-n 2-n ... -2 -1
此时再按最后一列展开即得：
A=(-1)^[1/2*n(n+1)]*(n+1)/2*n^(n-1).
综上,原行列式的值为 A=(-1)^[1/2*n(n+1)]*(n+1)/2*n^(n-1).