如图,在平面直角坐标系中,将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(-3,0)及y轴上的C点.若抛物线y=-

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  • 解题思路:(1)先根据y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C求出C点的坐标,再用待定系数法求出直线BC的解析式,再根据抛物线y=-x2+bx+c过点B,C,把B、C两点的坐标代入所设函数解析式即可求出此解析式;(2)根据(1)中二次函数的解析式可求出A、D两点的坐标,判断出△OBC是等腰直角三角形,利用锐角三角函数的定义可求出∠OBC的度数,过点A作AE⊥BC于点E,利用勾股定理可求出BE、AE及CE的长,再根据相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP,根据相似三角形的对应边成比例可求出PF的长,再点P在抛物线的对称轴上即可求出点P的坐标;(3)先根据梯形的面积公式求出四边形EFOC的面积,再假设直线过点F,求出△OCF的面积与四边形EFOC的面积的一半相比较可知,直线必过线段OF,再假设直线CM与线段OF相较于点G(x,0),再根据三角形的面积公式求出x的值,利用待定系数法求出直线CG的解析式,再求出此直线与抛物线的交点即可.

    (1)∵y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C,

    ∴此时直线的解析式为y=kx-3,令x=0,则y=-3,

    ∴C(0,-3),

    设直线BC的解析式为y=kx-3.

    ∵B(-3,0)在直线BC上,

    ∴-3k-3=0解得k=-1.

    ∴直线BC的解析式为y=-x-3.

    ∵抛物线y=-x2+bx+c过点B,C,

    −9−3b+c=0

    c=−3,

    解得

    b=−4

    c=−3,

    ∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3;

    (2)由y=-x2-4x-3.可得D(-2,1),A(-1,0).

    ∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,

    可得△OBC是等腰直角三角形.

    ∴∠OBC=45°,CB=3

    2.

    设抛物线对称轴与x轴交于点F,

    ∴AF=[1/2]AB=1.

    连接AE,

    ∵∠AEF=∠BEF=45°,

    ∴∠AEB=90°.

    可得BE=AE=

    2,CE=2

    2,

    在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,

    ∴△AEC∽△AFP.

    ∴[AE/AF]=[CE/PF],

    2

    1=

    2

    2

    PF,解得,PF=2,

    ∵点P在抛物线的对称轴上,

    ∴点P的坐标为(-2,-2),(-2,2).

    (3)存在.

    ∵D(-2,1),C(0,-3),直线BC的解析式为y=-x-3,

    ∴F(-2,0),E(-2,-1),

    ∴S梯形EFOC=[1/2](EF+OC)•OF=[1/2]×(1+3)×2=4,

    ∵当直线CM过点F时,S△OCF=[1/2]OC•OF=[1/2]×3×2=3>[1/2]S梯形EFOC=2,

    ∴直线必过线段OF,设直线CM与线段OF相较于点G(x,0),则S△OCG=[1/2]OC•OG=[1/2]×3×

    (-x)=2,解得x=-[4/3],

    ∴G(-[4/3],0),

    设直线CM的解析式为y=kx+b(k≠0),

    ∵C(0,-3),G(-[4/3],0)在直线CM上,

    b=−3

    4

    3k+b=0,解得

    b=−3

    k=−

    9

    4,

    ∴直线CM的解析式为y=-[9/4]x-3.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查的是二次函数综合题,涉及到二次函数与一次函数的交点问题、梯形及三角形的面积等相关知识,难度较大.