Question

讨论函数 f（x）={[（1+x）^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续

Answer 1

因为 （1+x)^(1/x)在x-->0+ 时

等于e + 无穷小量,而无穷小量的无穷大次幂（1/x是无穷大）是很难界定是否有界的,所以不能够先求解.

这类题目求解得最好方法就是：

（1）指数型A^B转化为exp{BlnA} == exp{lnA/(1/B)}分数型

（2）然后使用洛必达法则,对分子分母同时求导,直到为无穷小都可以忽略.

本题中：

x>0,f(x) = exp{1/x * ln[(1+x)^(1/x)/e]}=exp{[ln(1+x)-x]/x^2}

指数内部是0/0型

洛必达准则,f(0+)= lim exp{[ln(1+x)-x]/x^2} = exp{lim{[ln(1+x)-x]/x^2}}

= exp { lim [1/(1+x)-1]/(2*x)} = e(-0.5)