解题思路:直接根据“n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量”和“n阶方阵A具有n个不同的特征值,则A与对角矩阵相似”,得到答案.
由于“n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量”,而A具有n个不同的特征值,则
A一定有n个线性无关的特征向量
因此,n阶方阵A具有n个不同的特征值⇒A与对角矩阵相似
但反之,不一定成立
如:A=
−211
020
413,A相似于
−1
2
2,但A只有两个不同的特征值-1和2
从而n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件.
故填“充分”
点评:
本题考点: 矩阵可相似对角化的充分必要条件.
考点点评: 此题考查矩阵相似对角化的条件,要注意区分是充分条件、必要条件还是充要条件,都是基础知识点.